整个宇宙就存在于一杯葡萄酒中,这是诗人的话语。物理学家费曼就此评论道:如果我们微不足道的有限智力为了某种方便将这杯葡萄酒——这个宇宙——分为几个部分:物理学、生物学、地质学、天文学、心理学等等,那么要记住,大自然并不知道这一切。

数学这门古老的学科经历了数千年发展,在近一百多年来更是开拓出众多分支,分离出多种应用学科。而一般人所学的则是约年前的解析几何、多年前的微积分、多年前的线性代数,更新一些的可能包括年前的群论、年前的拓扑学和数理逻辑。再后来的数学多被认为过于深奥抽象,难以得其门而入。

然而,这篇文章指出,这种印象不过是不当教育导致的偏见,数学学科虽多,但其理则一,数学中的每个台阶都是始于一个原始的理念,既不深奥也不复杂,都是研究来自自然界的问题。

撰文

其故

1对于数学的普遍偏见

当今的教育使得一般人都学过一些数学,而且学习的时间相当长(参看[4]),这使得很多人认为自己懂得数学,甚至妄谈数学。但一般人所学的最新的也才是二百多年前的数学,往往对于近二百年来的数学一无所知,所以难免对于数学有误解甚至偏见(参看例如[5])。

妄谈数学的人并非完全不懂数学,如果完全不懂倒不至于妄谈了。问题在于近一百多年来数学有了巨大和根本的发展,一方面有了更深刻的理念,另一方面其应用领域极大地扩展了。如果对此完全不了解,那么对于数学的看法难免过于狭隘,简直可以说是管窥蠡测了。

教科书中“数学是研究数量关系和空间形式的科学”(参看[1])这个教条,也是导致很多人对于数学有偏见的一个原因。这个说法始于恩格斯,后来列入前苏联的教科书中,继而进入我国的教科书。恩格斯是唯物主义者,他反对将数学看作纯粹意识的观点,认为数学所研究的是客观世界,而受时代的局限他还不了解群论(即使高斯也难以接受),所以从哲学上这对于恩格斯是最好的理解了。但现代人应该知道,数学的领域非常宽阔,没有边界,是不能由研究对象来界定的。即使俄国人也早已摒弃了这个教条。

多年前在数学界的一个会议上有专家呼吁,在数学界的报告(如发展规划)中不要再写“数学是研究数量关系和空间形式的科学”这样的话,因为它不仅过时、错误,而且对于数学的发展不利。这个建议得到与会者的一致赞同。但在数学界不能主导的领域,这个教条仍在起着误导作用,使得很多人对于数学的了解局限于一个很狭窄的范围,更不会主动地将数学应用于以往不曾属于数学的领域。

如[5]中所看到的,很多网民认为“数学基础就是初等数学+高等数学+算法+奥数”,“数学对很多人来说是枯燥的、深奥的、抽象的”,甚至是乏味的、无用的、无聊的。这是教育垄断造成的严重后果。

陈省身先生说过:“数学是一切科学的基础,数学的训练普遍的有用。”但对于数学有严重偏见的人是不可能理解这两句话的。

这些偏见来自多方面的原因,其中一个重要原因是教育方面的失误。而纠正偏见对于数学教育是一个不能回避的任务。

2对于数学的偏见的背景

如上所说,很多人对于数学的严重偏见,是由不当的数学教育造成的。

数学教育有其特有的规律(参看[4]),不仅学习时间长,应用广泛,而且需要激励兴趣,培养科学的严谨性,因材施教,以及提升科学理念。

数学教育领域有一个共识,就是一个现代人学习数学的历程大体上沿着数学发展史的历程,类似于一个胎儿成长的过程大体上沿着生物进化的历程。胎儿的发育过程大体要经过从单细胞生物到人类的进化过程,要经过类似原生动物、腔肠动物、脊索动物、灵长类等各个阶段,最后才长成人类的样子。而学习数学的过程,要先走过有数万年历史的识数过程,再学习古典(有数千年历史的)代数和几何,再学习更近代的内容,直到费尔马和笛卡儿建立的解析几何,尔后可以学习微积分及更近代的数学。识数的时间相当长,可能在数学的学习中占大半,这和数学史上人类识数的时间长是一致的。

因此,判断一般人(尤其是中学生)的数学水平的基本标准是历史的,即看他懂的是哪个时代的数学。

如今的数学文献浩如烟海,很多人容易有一个错觉,就是数学的发展就是数学研究成果的积累。那么,成果越积越多,迟早会使得任何人都不能全面把握,甚至只能懂得其中很狭窄的一部分。其实不然,成果的积累是华罗庚先生所说的“由薄到厚”的过程,但他还说过有一个“由厚到薄”的过程,这恐怕不是很多人都明白的。

对于数学,很多人崇拜技巧高的人,甚至看不起技巧不高的人。很多人以为数学是聪明人的游戏。

其实数学的发展方向,是老的数学越来越成熟,越成熟就越简单,越容易,越接近普通人。这个过程,主要是通过理念的提升来实现的。

举例说,中学平面几何中有很多习题是很难的,即使很好的学生也未必都能做出来。这样的习题对于锻炼学生探索和解决问题的能力是有好处的,但很多习题难在对解题方法的苛刻限制,即只能使用平面几何教程中讲授过的方法。如果学了解析几何,对其中很多习题就可以建立坐标系通过计算来解决,不需要什么技巧,难度也大为降低,普通学生都能做出。即使对于很好的学生,像上面那样做平面几何难题也应适可而止,有精力和兴趣可早些进入解析几何,那么以前学的很多方法和技巧即使忘掉也没有关系,不需要全都记住而成为沉重的负担。这就是“由厚到薄”的过程。

再举个例子:球的体积怎样算?在高中教科书中是用祖暅原理计算的。祖暅原理本身就不很容易懂,而利用祖暅原理计算球的体积,需要相当高的技巧,实际上大多数高中生没学明白。更大的问题是,如果换一个计算体积的问题,还得再寻求新的方法,无法保证一定能算出来。但是,如果学了微积分就会算很多面积、体积,其中球的体积只是一个很容易的问题。这样,学了微积分就可以“忘掉”很多计算面积、体积的初等方法和技巧,这也是“由厚到薄”的过程。

不幸的是,很多中学教师所教的,很多中学生所学的,是在“初等”层次上反复练习,掌握“题型”和技巧等(都属于“由薄到厚”的范围),然而这样的学生无论“题型”掌握了多少,技巧有多高,比起一个学好了微积分的学生还是差一个档次。简言之,前者的数学水平还在牛顿的时代之前,后者已进入近三百年。

由此可见,很多中学生,尤其是聪明学生,将大部分时间和精力耗费在学习初等“题型”和技巧上,是很大的浪费,有那功夫,数学分析、高等代数等更高的台阶都能上去了。不仅如此,还常见他们很困惑,问诸如“数学有什么用”之类的问题,因为他们做的很多习题,学的很多“题型”和技巧,并无应用背景(除了考试以外)。反之,例如学了微积分就会算很多面积体积,自然就不会问“数学有什么用”了。

理念的提升,远比技巧的提高重要。以解析几何为例,如果一个学生经过学习,深刻领会了代数与几何的内在联系,那么在多年后即使忘记了教科书的大部分细节,遇到问题仍能主动地将代数与几何问题相互转化,其创新能力绝不是仅掌握了很多技巧(即使不忘)的人所能比的。

还有一个对于数学的误解源于“高等数学”这个词,其实它只是高等学校非数学专业的基础数学课程的名称(这个名称当然不恰当,国外都不用,但国内沿用了多年很难改),并非“高深”,更不是“最高”。其内容为大约三百年前的数学,主要是牛顿(-)时代的数学,最高的也不超过欧拉(-)时代。某些非数学专业的学生还需要学习更深一些的数学,例如电工专业的学生要学习拉普拉斯变换、傅里叶变换等二百年前的数学。

说到这里可能有些读者望而生畏:需要学的数学这么多而且越来越难,怕是这辈子没法学好了。其实不然,即使是一个小学生也可能有很好的数学素质,而中学生中有很多可以达到相当高的数学素质。数学学科虽多,但“其理则一”,都是研究来自自然界的问题,在这一点上与其他科学并无不同,所不同之处是其绝对真理性(参看[8])。一个人的数学素质的标志不是数学知识的多少,而是数学理念的高度。下面我们会对此详细解释。

3数学中的“台阶”

现代数学的范围非常广,国际数学家大会有19个分会场,就是说即使粗分也有19个大方向。要想全面了解这些方向当然很不容易。虽然数学有很多分支,但“其理则一”,每个分支只是在某一个方面特别深入,但绝不是孤立的,不应将数学看作一些互不相关的分支或课题。如果对数学的某一个方向有了深入了解,形成很好的数学理念,那么就有利于理解其他方向。

数学的发展不仅是内容的丰富,而且有理念的提升。每个重要的新理念会促进数学的整体发展,影响到很多数学分支甚至数学以外的学科。在基础数学方面,这样的新理念有:约年前的解析几何,多年前的微积分,多年前的线性代数,年前的群论,年前的拓扑学、数理逻辑、李群,80年前的整体微分几何、概率论,此后更多,有复几何、模空间、动力系统、算术代数几何、几何分析等等。

由此,学习数学不应仅仅是知识的积累,还应逐步提高哲学理念,如一个一个地上台阶。

解析几何、微积分、线性代数都是近代数学的“台阶”,近二百年来这样的台阶更多,下面选几个做简单介绍。

1群论

“群”是年代伽罗瓦在研究代数方程的一个困难问题时发现的。群论在解决这个难题时的作用充分显示出它的强大,逐渐引起数学界的普遍

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